За разностранен триъгълник ABC са въведени дължини на страни AB=c, AC=b, BC=a. От връх C е построена ъглополовяща CL. Да се изчисли дължина на ъглополовящата CL.

Разглеждаме триъгълник ABC с въведени дължини на страните AB=c, BC=a и AC=b. Построена е ъглополовяща CL, чието продължение пресича окръжността в т.D. Пресечната точка между ъглополовящата CL и страната AB я раделя на две отсечки AL и BL.

Използваме стандартните обозначения.

По условие ъглите ACL=BCL=γ/2

Ъглите BCD=BCL=γ/2 - имат общ връх и съвпадащи рамена

Ъглите BAC=CDB=α - вписани ъгли и еднаква дъга BC

Триъгълниците CAL и CDB са подобни.

Извеждаме отношението между съответните страни:

CL/BC=AC/CD=AL//BD

CL*CD=AC*BC

CL*(CL+LD)=AC*BC

CL²=AC*BC-CL*LD (1)

Ще докажем, че AL*BL=CL*LD (2)

I-ви вариант

Разглеждаме триъгълниците ALC и BLD

Ъглите ACD=ABD=γ/2 - вписани ъгли с една и съща дъга

Ъглите ALC=BLD - връхни ъгли

Ъглите CDB=BAC=α - вписани ъгли с една и съща дъга

Триъгълниците са подобни:

AC/BD=AL/LD=CL/BL

II-ри вариант

Същият резултат може да се изведе и чрез представяне дължините на отсечките AB и CD като хорди в една и съща окръжност.

Извеждаме доказаното равенство:

AL*BL=CL*LD (2)

Заместваме уравнение (2) в уравнение (1)

CL²=AC*BC- AL*BL (3)

Изведохме зависимостта (3) между дължината на ъглополовящата, дължините на страните (формиращи рамената наъгъла) и отсечките, на които се дели третата страна в триъгълника.

AL+BL=AB (4)

AC/BC=AL/BL=m/n (5)

Формираме система уравнения от (4) и (5)

Полагаме: AL=AB-BL

AL*BC=BL*AC

(AB-BL)*BC=BL*AC

BL*(AC+BC)=AB*BC

Извеждаме дължината на отсечките, на които ъглополовящата дели срещулежащата страна:

BL=AB*BC/(AC+BC) (6)

AL=AB*AC/(AC+BC) (7)

Заместваме уравнения (6) и (7) в уравнение 3

CL²=AC*BC- AL*BL (3)

CL²=AC*BC-AC*BC*AB²/(AC+BC)²

Използвайки стандартните означения уравнението придобива вида:

lc²=a*b-a*b*c²/(a+b)²

lc=√(a*b-a*b*c²/(a+b)²)

Втората формула за дължина на ъглопловяща използва дължините на страните, а първата дължините на отсечките, в които ъглополовящата дели срещулежащата страна.